La respuesta al enigma del canguro de hoy
Hoy les planteé el siguiente problema del canguro internacional de matemáticas, un desafío de opción múltiple que enfrentan más de siete millones de niños cada año. (Para obtener más detalles sobre este extraordinario evento, consulte la historia original).
Aquí está nuevamente con la solución.
los cuatro poderes
Un número de cuatro dígitos abcd satisface la ecuación abcd = aa + bb + cc + dd.
¿Qué es un?
[Nota: abcd significa que el primer dígito es a, el segundo es b, el tercero es c y el cuarto es d. No significa a x b x c x d. Los números a, b, cyd no tienen por qué ser diferentes.]
Como extra, ¿qué son b, cyd?
Solución abcd = 3435
Funcionamiento
Primero enumeremos los valores de xx para x = 1 a 6.
11 = 1, 22 = 4, 33 = 27, 44 = 256, 55 = 3125, 66 > 9999.
No calculé el valor exacto de 66, porque tan pronto como me di cuenta de que era mayor que un número de cuatro dígitos supe que tenía un límite superior para los valores de a, b, cy d. Todos deben ser menos de 6.
Uno de los dígitos debe ser 5, porque si todos los dígitos fueran 4 o menos, la única manera de que aa + bb + cc + dd tuviera cuatro dígitos sería 44 + 44 + 44 + 44 = 1024, lo cual no satisface la ecuación.
Entonces, ¿cuántos de los dígitos son 5? Repasemos los casos.
Todos. Por tanto, abcd = 5555 ≠ 4 x 3125. Entonces esta no es una solución.
Tres. Así abcd = (3x 3125) + (ya sea 1, 4, 27 o 256)
= 9375 + (ya sea 1, 4, 27 o 256)
Esto significa que a = 9. Pero a ≠ 9, por lo que tampoco es una solución.
Dos. Por tanto, abcd = 6250 + (dos de 1, 4, 27 o 256). Nuevamente, esto no es una solución ya que si lo fuera, a = 6, lo cual sabemos que es falso.
Entonces, sólo uno de a, b, cyd es 5.
Ahora sabemos que abcd = 3125 + (alguna combinación de tres de 1, 4, 27 y 256). Así abcd < 4000. Entonces a = 3.
Ahora tenemos la respuesta a la pregunta de opción múltiple, pero intentemos encontrar b, cy d. Uno de ellos es 5. Entonces tenemos
abcd = 27 + 3125 + (dos de 1, 4, 27 y 256)
abcd = 3152 + (dos de 1, 4, 27 y 256.)
No puede darse el caso de que los dos dígitos restantes sean 4, porque si fueran abcd = 3152 + 256+256 = 3664, no se permiten 6.
Imagine que un dígito es 4, lo que significaría que abcd = 3408 + 1, 4 o 27, es decir, abcd = 3409, 3412 o 3435.
Podemos eliminar 3409 porque tiene un 9 y 3412 porque no tiene un 5. La respuesta es 3435 = 33 + 44 + 33 + 55.
Para asegurarnos de que no hay otras soluciones, veamos qué sucede cuando abcd = 3152 + dos de 1, 4 y 27. Las posibilidades son 3154, 3157, 3180, 3160, 3183, 3206. Sólo la primera es potencialmente correcta, ya que tiene todos los dígitos menores que 6, pero el número no satisface la ecuación de la pregunta.
¡Llegamos allí!
Espero que hayas disfrutado el rompecabezas de hoy. Volveré en dos semanas.
Para obtener más información sobre cómo ingresar al Canguro en el Reino Unido, comuníquese con el UKMT. Para todos los demás países, encuentre su asociación nacional de canguros aquí.
Puedes leer Canguros anteriores en el Banco de Olimpiadas Mundiales, un archivo de casi 100.000 problemas de competiciones internacionales en matemáticas, física, química, biología, informática y astronomía. En la sección Canguro, los niveles son Pre-Ecolier (primaria inferior), Ecolier (primaria superior), Benjamin (secundaria inferior), Cadet (secundaria media), Junior (secundaria superior), Student (sexto curso). El archivo fue creado por Sokratis Romanidis.
He estado armando un rompecabezas aquí lunes alternos desde 2015. Siempre estoy buscando grandes rompecabezas. Si desea sugerir alguno, envíeme un correo electrónico.
