La réponse à l’énigme du kangourou d’aujourd’hui
Plus tôt dans la journée, je vous ai posé le problème suivant tiré du concours international de mathématiques Kangourou, un défi à choix multiples relevé par plus de sept millions d'enfants chaque année. (Pour plus de détails sur cet événement extraordinaire, voir l'histoire originale.)
Voici à nouveau la solution.
Les quatre pouvoirs
Un nombre à quatre chiffres abcd satisfait l’équation abcd = aa + bb + cc + dd.
Qu'est-ce qu'un ?
[Remarque : abcd signifie que le premier chiffre est a, le deuxième est b, le troisième est c et le quatrième est d. Cela ne signifie pas a x b x c x d. Les nombres a, b, c et d ne doivent pas nécessairement être différents.]
En complément, que sont b, c et d ?
Solutionabcd = 3435
Travaux
Listons d’abord les valeurs de xx pour x = 1 à 6.
11 = 1, 22 = 4, 33 = 27, 44 = 256, 55 = 3125, 66 > 9999.
Je n’ai pas calculé la valeur exacte de 66, car dès que j’ai réalisé qu’elle était supérieure à un nombre à quatre chiffres, j’ai su que j’avais une limite supérieure pour les valeurs de a, b, c et d. Ils doivent tous être inférieurs à 6.
L'un des chiffres doit être 5, car si tous les chiffres étaient 4 ou moins, la seule façon pour aa + bb + cc + dd d'avoir quatre chiffres serait 44 + 44 + 44 + 44 = 1024, ce qui ne satisfait pas l'équation.
Alors, combien de chiffres font 5 ? Passons en revue les cas
Tous. Donc abcd = 5555 ≠ 4 x 3125. Ce n’est donc pas une solution.
Trois. Ainsi abcd = (3x 3125) + (soit 1, 4, 27 ou 256)
= 9375 + (soit 1, 4, 27 ou 256)
Cela signifie que a = 9. Mais a ≠ 9 donc ce n'est pas non plus une solution.
Deux. Ainsi abcd = 6250 + (deux de 1, 4, 27 ou 256). Encore une fois, ce n’est pas une solution puisque si c’était le cas, a = 6, ce qui, nous le savons, est faux.
Ainsi, un seul parmi a, b, c et d vaut 5.
Nous savons maintenant que abcd = 3125 + (une combinaison de trois de 1, 4, 27 et 256). Ainsi abcd &Lt ; 4000. Donc a = 3.
Nous avons maintenant la réponse à la question à choix multiples, mais essayons de trouver b, c et d. L’un d’eux est 5. Nous avons donc
abcd = 27 + 3125 + (deux de 1, 4, 27 et 256)
abcd = 3152 + (deux de 1, 4, 27 et 256.)
Il ne se peut pas que les deux chiffres restants soient 4, car s'ils étaient abcd = 3152 + 256+256 = 3664, aucun 6 n'est autorisé.
Imaginez qu'un chiffre soit 4, ce qui signifierait que abcd = 3408 + 1, 4 ou 27, c'est-à-dire abcd = 3409, 3412 ou 3435.
On peut éliminer 3409 parce qu’il a un 9, et 3412 parce qu’il n’a pas de 5. La réponse est 3435 = 33 + 44 + 33 + 55.
Pour être sûr qu’il n’y a pas d’autres solutions, voyons ce qui se passe lorsque abcd = 3152 + deux de 1, 4 et 27. Les possibilités sont 3154, 3157, 3180, 3160, 3183, 3206. Seule la première est potentiellement correcte, car elle a tous les chiffres inférieurs à 6, mais le nombre ne satisfait pas l’équation de la question.
Nous y sommes arrivés !
J’espère que vous avez apprécié le puzzle d’aujourd’hui. Je serai de retour dans deux semaines.
Pour plus d’informations sur l’entrée du Kangourou au Royaume-Uni, contactez l’UKMT. Pour tous les autres pays, trouvez votre association nationale Kangourou ici.
Vous pouvez lire les précédents Kangourous dans la Banque des Olympiades mondiales, une archive de près de 100 000 problèmes issus de concours internationaux en mathématiques, physique, chimie, biologie, informatique et astronomie. Dans la section Kangourou, les niveaux sont Pré-Ecolier (primaire inférieur), Ecolier (primaire supérieur), Benjamin (secondaire inférieur), Cadet (secondaire moyen), Junior (secondaire supérieur), Etudiant (sixième). Les archives ont été créées par Sokratis Romanidis.
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